对于那些貌似障碍重重的问题，在视图转向道德和心理方面的求解之前，不妨先从理解最基本的问题开始。——夏洛克·福尔摩士《血字的研究》（1887）
所谓“3D数学”就是以数学方式精确地测量在三位空间中的位置、距离和角度。使用计算机执行此类计算的最常用框架称之为笛卡尔坐标系。笛卡尔数学由法国哲学家、物理学家、生理学家和数学家勒内·笛卡尔发明。
一维数学
我们用关于羊的故事来了解一维数学。
-
有理数
- 自然数：用来表示我手上有多少只整羊。（零与正整数）
- 零：我手上没有羊。
- 负数：我欠别人一只羊。
- 分数：我买了别人半只羊（$\frac{1}{2}$）
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无理数：我买了别人$\frac{1}{3}$只羊，但是别人没办法精确把羊肉切给我（$\frac{1}{3}=0.3333…$）
与之相关的还有$\pi$、$\sqrt{2}$、等。
二维笛卡尔空间
| 原文 | 译文 |
|---|---|
| x-axis | x轴 |
| Origin(0,0) | 原点(0,0) |
| y-axis | y轴 |
三维笛卡尔空间
左手坐标系与右手坐标系
左手坐标系与右手坐标系无法互换
左旋与右旋
左旋与右旋是可以互换的，例如将左手坐标系围绕Z轴旋转180°，这时左、右手坐标系绕Y轴旋转都呈逆时针旋转。
一些零散的基础知识介绍
求和求积表示法
求和表示法：
$\sum_{i=1}^{6}a_i=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$
求积表示法：
$\prod^{n}{i=1}a_i = a1 \times a2 \times … a{n-1} \times a_n$
区间符号
$x=[a,a]$ 表示 $a \leq x \leq b$
$x=(a,a)$ 表示 $a < x < b$
$[0,\infty)$ 表示非负数
角度、度数和弧度
表示角度的变量通常为$\theta$。用于指定角度的最重要的度量单位是度（$\degree$）和弧度（rad）。
人类通常使用度（Degree）数来测量角度。一度表示旋转$1/360$，因此 $360\degree$ 代表旋转完整的一圈。
科学家更喜欢以弧度（Radian）为单位测量角度。弧度表示半径为1的圆截取弧的长度。
圆的周长为$2\pi$，因此$2\pi$弧度表示一个完整圆周。
弧度转度：$1rad = (180/\pi)\degree$
度转弧度：$1\degree = (\pi/180)rad$
三角函数
名词：
余弦 $cosin\theta$、正弦 $sin\theta$、割线 $secant\theta$、余割 $cosecant\theta$、切线 $tangent\theta$、余切 $cotangent\theta$
转换关系：
| $sec\theta = \frac{1}{cos\theta}$ | $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$ |
|---|---|
| $csc\theta = \frac{1}{sin\theta}$ | $cot\theta = \frac{1}{tan\theta} = \frac{cos\theta}{sin\theta}$ |
直角三角形勾股定理：勾三股四弦五
三角函数的圆定义
$\theta$的正弦是对边与斜边的比值：$sin\theta= \frac{b}{r=1}=b$ $\theta$的余弦是邻边与斜边的比值：$cos\theta= \frac{a}{r=1}=a$ $\theta$的正切是对边与邻边的比值：$tan\theta= \frac{b}{a}= \frac{sin\theta}{cos\theta}$ 因为$ (a,b)=(cos\theta,sin\theta)$，所以下图点P可以推导出是$(cos\theta,sin\theta)$
毕达哥拉斯定理与毕达哥拉斯恒等式
- $a^2+b^2 = h^2$
- $\frac{a^2}{h2} + \frac{b^2}{h2} =\frac{h2}{h2} $
- $(\frac{a}{h})^2+(\frac{b}{h})^2=1$
- $sin^2\theta+cos^2\theta=1$
注意：
$sin^2\theta$的意思是 $\theta$ 的正弦的平方
$sin\theta^2$的意思是 $\theta$ 的平方的正弦
两者得出的结果不相等
正弦函数的图像
- $y=sin\theta$
- $y=cos\theta$
-
$y=tan\theta$
当 $\theta$ 进行增长时，y所呈现如下图 $tan\theta$一般用来表示角度斜线的斜率 $\theta$ 值在 $\frac{\pi}{2}$倍数时值趋近为无穷大或无穷小
三角函数的对称性
| 对称于$α=0$的三角函数 $\theta$ 值 | 对称于$α=\frac{\pi}{4}$ 的三角函数 $\theta$ 值 | 对称于$α=\frac{\pi}{2} $的三角函数 $\theta$ 值 | 原点对称的三角函数 $\theta$ 值 |
|---|---|---|---|
| $sin(−\theta)=−sin\theta$ | $sin(\frac{\pi}{2}−\theta)=cos\theta$ | $sin(π−\theta)=+sin\theta$ | $sin(\pi+\theta)=−sin\theta$ |
| $cos(−\theta)=+cos\theta$ | $cos(\frac{\pi}{2}−\theta)=sin\theta$ | $cos(π−\theta)=−cos\theta$ | $cos(\pi+\theta)=−cos\theta$ |
| $tan(−\theta)=−tan\theta$ | $tan(π−\theta)=−tan\theta$ | $tan(\pi+\theta)=tan\theta$ |
三角公式的推导
已知角度为$30\degree$，所构成的三角形为等边三角形，圆形半径r=1 由此可推到出如下信息 $BC=r=1$ $30\degree对角边 = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$ 根据毕达哥拉斯定理：$a^2+b^2=c^2$，可得出 $a^2+(\frac{1}{2})^2=r^2=1^2$ $a^2+\frac{1}{4}=1$ $a = \frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{1}{2}c=1$ 那么30°角的三角函数如下 $cos30\degree =\frac{a}{c}=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $sin30\degree=\frac{b}{c}=\frac{(\frac{1}{2})}{1}=\frac{1}{2}$ $tan30\degree=\frac{b}{a}=\frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{\sqrt{3}}{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
三角函数的位移
位移$\frac{π}{2}$ $sin(\theta+\frac{π}{2})=+cos\theta$ $cos(\theta+\frac{π}{2})=−sin\theta$ $tan(\theta+\frac{π}{2})=−cot\theta$
正弦曲线
公式：$y=A sin(Bx+C)+D$
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A值表示振幅
A值的负值将反转图像
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B值表示周期
当$B=1$，周期$p=\frac{2π}{|1|} =2π$
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C值表示相移
当$B=1、C=\frac{−π}{4}$，相移 $p=\frac{C}{B}=\frac{\frac{−π}{4}}{1}=\frac{−π}{4}$ 负值表示右相移，正值为左相移
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D值表示垂直位移
反余弦
余弦函数：$y=cos45\degree = cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$ 余弦函数指已知角度，求邻边与斜边的比值 反余弦函数：$y=cos^{−1}(x)=arccos(x)$ 反余弦函数指已知邻边与斜边的比值，求角度 $arccos(\frac{\sqrt2}{2})=\frac{π}{4}$
练习
正弦图像的计算：
- 求$y=3 sin(\frac{π}{4} x−\frac{π}{4})$的中线、振幅、相移、周期，并做图
解： $y=A sin(Bx+C)+D$
振幅 $= |A|=3$ 周期 $= p = \frac{2π}{|B|} =\frac{2π}{\frac{π}{4}}=8$ 相移 $= \frac{C}{B}=\frac{\frac{−π}{4}}{\frac{π}{4}}=−1$ 中线 $= D=0$
